FUNCIONES
1ª PARTE: Conceptos básicos
1. ¿Cómo puedes expresar la relación entre dos magnitudes como, por ejemplo, la masa y el volumen de un cuerpo?
Se puede expresar mediante funciones, teniendo en cuenta que cada una de ellas se puede expresar con una unidad y una cantidad.
EJEMPLO:
EJEMPLO:
2. ¿Qué es una función? ¿De qué formas pueden expresarse las relaciones entre magnitudes? Pon ejemplos de funciones de la vida cotidiana; puedes buscar en revistas, periódicos, etc. En las figuras siguientes tienes 3 ejemplos:
- Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes,manteniéndose un dato como variable independiente y otro de variable de pendientes.
Variable independiente: es la que se fija primero.Se le suele asignar la X.
Variable dependiente:es la que se deduce de la variable independiente. Se le suele asignar con la letra Y,o como f (x).
Expresándose de diferentes formas como:
Expresándose de diferentes formas como:
- Mediante tablas
- Mediante gráficas
- Mediante ecuaciones o fórmulas
- Entre otras opciones
3. ¿Qué es la tasa de variación de una función? ¿Qué valores toma para las funciones crecientes y decrecientes? Puedes utilizar ejemplos gráficos para responder.
La tasa de variación es el aumento o disminución que experimenta una función al pasar la variable de un lugar a otro.
Función creciente: la gráfica asciende , cuando al aumentar el valor de x , aumenta el valor de y.
Función decreciente: la gráfica desciende,cuando al aumentar el valor de x,
disminuye el valor de y.
4. Utilizando la representación gráfica de una o varias funciones, explica las diferencias entre máximos y mínimos absolutos y relativos.
Dada una función continua en un punto x=a, se presenta un máximo relativo, si a la izquierda de dicho punto la función es creciente y en la derecha la función es decreciente.Por otra parte , si la función es decreciente a la izquierda y creciente a la derecha hay un mínimo relativo.
El máximo absoluto de una función es el valor mas grande en todo el dominio.
El mínimo absoluto de una función es el valor mas pequeño en todo el dominio.
- Dominio es el conjunto de elementos que tiene una imagen. El numero x perteneciente al dominio de la función,recibe el nombre de variable independiente
5. Representa gráficamente dos ejemplos de funciones simétricas respecto al eje de ordenadas (eje y) y respecto al origen (0,0). Explica en qué consiste cada tipo de simetría.
- Una función es simétrica respecto al origen de coordenadas cuando f(-x) = (x). En este caso la función se dice IMPAR.
- Una función es simétrica respecto al origen de coordenadas cuando f(-x) = (x) = (0,0). En este caso la función se dice PAR.
6. Representa gráficamente una función periódica indicando por qué se denomina de esa forma.
Función periódica: si su gráfica repite,de forma consecutiva,un mismo modelo cuyo dominio se llama periodo de la función.
7. Pon dos ejemplos, uno de función continua y otro de función discontinua. ¿Cuál es la diferencia entre ambas?
Función continua: gráficas que no presentan ningún punto aislado, interrupciones y que están hechas de un solo trozo en un intervalo determinado , o se puede decir que se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.
Función discontinua: presenta algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe.
8. Investiga: ¿Cuál es el origen del término función?
El concepto de función tiene su origen en el termino latino funcitio , palabra que se utiliza en diversos ámbitos y con distintos significados.
En este caso, para llegar al concepto matemático de función tendremos que indagar sobre su inicio.
Se podría empezar en Mesopotamia por el imperio babilónico que casi en el año 2.500 a.c. tenían tablillas matemáticas con las cuales realizaban los cálculos , que sin darse cuenta del concepto de función ,lo definían a su manera.
En el antiguo Egipto también aparecen ejemplos de usos de funciones particulares, específicamente en una tabla de igual forma realizada por ellos ,apareciendo en el Papiro Rhind o Papiro Ahmes,de unos 400 años de antigüedad considerado como el primer tratado de matemáticas que se conserva.
En la Grecia Clásica también manejaron las funciones ,en su caso .con menos formulas y mas cerca del concepto actual ,pero probablemente sin entender a profundidad la definición de función.
La mayoría de los historiadores matemáticos consideran a Nicole Oresma el primer personaje en acercarse al concepto de función ,cuando describió las leyes de la naturaleza con una relación de dependencia entre dos magnitudes.
En la revolución científica iniciada en el siglo XVI , los matemáticos pusieron mas atención a los fenómenos de la naturaleza,poniendo interés en la relación de dos variables.
Galileo (1564-1642) pareció comprender con mas claridad la relación entre dos variables, por lo que trabajo en con diferentes aspectos y en las funciones que estudio destaca la función en la que prueba que dos circunferencias ,una con el doble de radio que la otra,tienen el mismo número de puntos.
Casi al mismo tiempo en el que galileo llegaba a estas ideas,Rene Descartes
(1596-1650) introducía la geometría analítica.
A finales del siglo XVII apareció por primera vez el termino función. En palabras de Johann Bernoulli, una función es “una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y constantes”.
En 1748 el concepto de función salto a la fama por Leonhard Euler un genio de las matemáticas , publico en su libro ,Introducción al análisis infinito, en el cual definió función como:
Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes.
Pero en 1755 preciso su definición:
Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las segundas.
Pero la cosa seguía sin estar clara del todo: ¿cómo es esa dependencia?, ¿cómo expresarla, calcularla o representarla?, ¿cómo deben cambiar los valores de las variables?, ¿cuántas variables pueden intervenir?, ...
Tras intentar precisar y adecuar la definición de función muchos matemáticos abandonaron el problema durando esto casi dos siglos ,hasta que ,ya en el siglo XX ,Edourad Goursant dio en 1923 el concepto que aparece en la mayoría de libros hoy en día:
Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = ƒ(x)9
El concepto de función tiene su origen en el termino latino funcitio , palabra que se utiliza en diversos ámbitos y con distintos significados.
En este caso, para llegar al concepto matemático de función tendremos que indagar sobre su inicio.
Se podría empezar en Mesopotamia por el imperio babilónico que casi en el año 2.500 a.c. tenían tablillas matemáticas con las cuales realizaban los cálculos , que sin darse cuenta del concepto de función ,lo definían a su manera.
En el antiguo Egipto también aparecen ejemplos de usos de funciones particulares, específicamente en una tabla de igual forma realizada por ellos ,apareciendo en el Papiro Rhind o Papiro Ahmes,de unos 400 años de antigüedad considerado como el primer tratado de matemáticas que se conserva.
En la Grecia Clásica también manejaron las funciones ,en su caso .con menos formulas y mas cerca del concepto actual ,pero probablemente sin entender a profundidad la definición de función.
La mayoría de los historiadores matemáticos consideran a Nicole Oresma el primer personaje en acercarse al concepto de función ,cuando describió las leyes de la naturaleza con una relación de dependencia entre dos magnitudes.
En la revolución científica iniciada en el siglo XVI , los matemáticos pusieron mas atención a los fenómenos de la naturaleza,poniendo interés en la relación de dos variables.
Galileo (1564-1642) pareció comprender con mas claridad la relación entre dos variables, por lo que trabajo en con diferentes aspectos y en las funciones que estudio destaca la función en la que prueba que dos circunferencias ,una con el doble de radio que la otra,tienen el mismo número de puntos.
Casi al mismo tiempo en el que galileo llegaba a estas ideas,Rene Descartes
(1596-1650) introducía la geometría analítica.
A finales del siglo XVII apareció por primera vez el termino función. En palabras de Johann Bernoulli, una función es “una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y constantes”.
En 1748 el concepto de función salto a la fama por Leonhard Euler un genio de las matemáticas , publico en su libro ,Introducción al análisis infinito, en el cual definió función como:
Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes.
Pero en 1755 preciso su definición:
Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las segundas.
Pero la cosa seguía sin estar clara del todo: ¿cómo es esa dependencia?, ¿cómo expresarla, calcularla o representarla?, ¿cómo deben cambiar los valores de las variables?, ¿cuántas variables pueden intervenir?, ...
Tras intentar precisar y adecuar la definición de función muchos matemáticos abandonaron el problema durando esto casi dos siglos ,hasta que ,ya en el siglo XX ,Edourad Goursant dio en 1923 el concepto que aparece en la mayoría de libros hoy en día:
Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = ƒ(x)9
2ª PARTE: Estudio y representación de funciones Para realizar las actividades propuestas en esta parte puedes utilizar alguno de los programas que te recomiendo: Fooplot, Symbolab, Geogebra, Funciones para Windows, Derive, etc.
9. Representa gráficamente las funciones que se proponen indicando sus propiedades. Elabora una tabla resumen con todas las gráficas obtenidas.
a) Función lineal creciente
b) Función lineal constante
c) Función lineal decreciente
d) Rectas paralelas
e) Función cuadrática cóncava
f) Función cuadrática convexa
- Función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de segundo grado de la forma f(x) = ax2 + bx + c ,donde a,b ,c (son Términos) son números reales y a es distinto de cero ( puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero).El valor de b y de c si pueden ser cero.
- ax2 es el termino cuadrático
- bx es el termino lineal
- c es el termino independiente
g) Investiga sobre la representación gráfica de otras funciones
- Asíntotas : se puede decir que es una tangente a la curva en un infinito.
12.Utiliza el programa que has elegido para resolver gráficamente el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas siguiente: 3x - 2y= 4
2x+ 3y= 33
13.Elige un modelo de coche que disponga de motorizaciones diésel y gasolina y realiza un estudio gráfico de la función coste que nos permita averiguar cual es el automóvil más adecuado para nosotros en función del número de kilómetros que recorremos anualmente. (Nota: Necesitas el precio del coche, el del combustible y el consumo combinado)
L/Km COMBUSTIBLE COSTE
Seat león gasolina 6'7 L / 100Km Gasolina 1490 euros/ L 20000 euros
Seat león diesel 5'8 L/100 Km Diesel 1241 euros/ L 29621 euros
y Gasolina= 20000+(6'7/100*1490)*x
y Diesel=29621+(5'8/100*1241)*x
L/Km COMBUSTIBLE COSTE
Seat león gasolina 6'7 L / 100Km Gasolina 1490 euros/ L 20000 euros
Seat león diesel 5'8 L/100 Km Diesel 1241 euros/ L 29621 euros
y Gasolina= 20000+(6'7/100*1490)*x
y Diesel=29621+(5'8/100*1241)*x
14.Interpreta la gráfica del recorrido del Maratón Popular de Madrid
En este recorrido la salida de los corredores empieza a los 640 m con un subida hasta los 5 km, manteniendo se constante en un instante, y repentinamente bajando hasta 680 m a los 10 km ,haciendo una baja ligera hasta poco antes de los 15 km con una constancia hasta antes de los 20 km, empezando una subida hasta los 25 km con 720 m.
A los 30 km empieza a bajar,mientras que hay una bajada y subida imprevista entre los 30 y 35 km. Por último se encuentra una bajada suave hasta llegar a la meta a un poco más de los 40 km y los 640 m.
Teniendo en cuenta que en la gráfica del maratón
En este recorrido la salida de los corredores empieza a los 640 m con un subida hasta los 5 km, manteniendo se constante en un instante, y repentinamente bajando hasta 680 m a los 10 km ,haciendo una baja ligera hasta poco antes de los 15 km con una constancia hasta antes de los 20 km, empezando una subida hasta los 25 km con 720 m.
A los 30 km empieza a bajar,mientras que hay una bajada y subida imprevista entre los 30 y 35 km. Por último se encuentra una bajada suave hasta llegar a la meta a un poco más de los 40 km y los 640 m.
Teniendo en cuenta que en la gráfica del maratón
- El eje "Y" es la altura en metros.
- El eje "X" son los kilómetros que recorren.
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